Bài tập tự luận: Con lắc lò xo

**haiht.ischool** · 11-02-2011 03:50 PM

Nhằm giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị tốt kỳ thi Tú Tài và các cuộc tuyển sinh năm nay, tôi mở topic này, cố gắng post các bài tập về con lắc lò xo - một dạng bài tập khá khó khăn khi giải. Tôi không phải là dân chuyên Lý, mà cũng chẳng dạy Lý bao giờ, nên sai sót là khó tránh khỏi. Hy vọng được sự hỗ trợ từ các thầy, cô dạy môn Lý trong các trường PTTH iSCHOOL và cả các bạn học sinh 12 nữa chứ.

Tôi sẽ cố gắng post 2 ngày : 1 bài tập (từ dễ đến khó)

Bài 1: Một lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ cứng k=20N/m được treo tại một điểm cố định. Đầu dưới của lò xo mang quả cầu có khối lượng m=200g. Từ vị trí cân bằng, ta kéo quả cầu xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 4cm rồi buông nhẹ (thả không vận tốc ban đầu). Tìm chu kỳ dao động và lập phương trình dao động của con lắc

Giải
+ Đây là một dao động điều hòa, nên:
- Chu kỳ dao động là: $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{0,2}{20}}=0,63 (s)$
- Phương trình dao động của con lắc ở dạng tổng quát: $x=A.sin(\varpi t+\varphi )$
Chọn trục Ox trùng với phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống dưới, gốc O trùng với vị trí cân bằng, ta có:
$\varpi = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0,2}}=10 (rad/s)$
- Li độ cực đại: $x_{max}=A=4cm$
- Tại vị trí x=A (lúc bắt đầu chuyển động t=0): $v_{o}=0 \Leftrightarrow A.\varpi. cos\varphi =0$
=> $cos\varphi = 0\Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}$
Vậy phương trình dao động là: $x=4sin(10t+\frac{\pi }{2}) cm$

**haiht.ischool** · 12-02-2011 03:40 PM

Bài 2: Một lò xo có khối lượng không đáng kể được treo vào một điểm cố định, đầu kia của lò xo gắn một hòn bi có khối lượng m=100g. Hòn bi dao động theo phương thẳng đứng với tần số f = 2,5Hz.
a) Viết phương trình dao động của hòn bi, biết rằng trong quá trình dao động chiều dài của lò xo biến thiên từ $l_{1}$ = 20cm đến $l_{2}$ = 24cm.
b) Tính vận tốc và gia tốc của hòn bi nó qua vị trì cân bằng và khi nó cách vị trí cân bằng 1cm.
c) Tính độ dài của lò xo khi không treo hòn bi.

Giải

+ Chọn x theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ trên xuống
+ Chọn gốc thời gian t = 0 khi khi hòn bi đạt li độ cực đại x = +A (lúc đó v=0 cm/s)
a) Phương trình dao động có dạng: $x = A.sin(\varpi t+\varphi )$
- Chiều dài của một chu kỳ: 2A = $l_{2}$ - $l_{1}$ = 24 - 20 = 4 (cm)
- Vậy: A = 2 (cm)
- Mặt khác f = 2,5 (Hz) $\Rightarrow \varpi = 2\pi .f$ = $2\pi .2,5$ = $5\pi$
- Xét tại lúc t = 0: v = x' = $A.\varpi.cos(\varpi t+\varphi )$ = $A.\varpi.cos\varphi$ = 0 $\Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{2}$
- Vậy phương trình dao động là: $x = 2sin(5\pi t+\frac{\pi}{2} ) cm$

b) Tính vận tốc, gia tốc
- Tại vị trí x bất kỳ theo phương trình dao động tổng quát : $x = A.sin(\varpi t+\varphi )$
$v=x'=A.\varpi cos(\varpi t +\varphi)$
$a=x''=-A.\varpi^2 sin(\varpi t +\varphi) = -\varpi^2x$
Áp dụng: $cos^2x+sin^2x=1$ , ta có: $v=\varpi.A.\sqrt{1-sin^2(\varpi t+\varphi)}= \varpi\sqrt{A^2-x^2}$
- Tại x=0 (vị trí cân bằng):
$v=\varpi A = 5\pi .2\approx 31,4 (cm/s)$
$a=0 (cm/s^2)$
- Tại x=1 (cm):
$v=\varpi \sqrt{A^2-x^2} = 5\pi .\sqrt{3}\approx 27,2 (cm/s)$
$a=-(5\pi)^2 = -246,49 (cm/s^2)$
c) Khi treo hòn bi vào lò xo, lò xo sẽ giãn một đoạn $\triangle l$ . Lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực của hòn bi, do đó: $k.\triangle l = m.g$ , hay:
$\triangle l=\frac{m.g}{k}=\frac{m.g}{m.\varpi^2}=\frac{g}{\varpi^2}=\frac{9,8}{5.\pi^2}=0,2 (m)$
Vậy độ dài thật của lò xo là: $l=l_{1}+A-\triangle l=20+2-20=2 (cm)$

**haiht.ischool** · 14-02-2011 11:13 AM

Bài 3: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm một quả cầu có khối lượng m=100g và mộ lò xo có khối lượng không đáng kể và có độ cứng k=80N/m (hình vẽ). Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng theo phương của trục lò xo một đoạn 3cm, rồi đẩy quả cầu về phía vị trí cân bằng với vận tốc $0,8\sqrt{2} m/s$ .
a) Viết phương trình dao động của quả cầu. Chọn gốc thời gian lúc đẩy quả cầu, chiều dương ngược chiều với chiều vận tốc đẩy lúc đầu. Bỏ qua ma sát giữa quả cầu và mặt sàn.
b) Xác định vị trí, mà tại đó lực tác dụng lên quả cầu là lớn nhất. Tính độ lớn lực đó.

Giải:
a) Lập phương trình dao động
- Phương trình dao động ở dạng tổng quát: $x=A.sin(\varpi t+\varphi)$
Ta có: $\varpi=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{80}{0,1}}=20\sqrt(2) (rad/s)$
Tại $t_{o}=0 (s): \left\{\begin{matrix}x_{o}= 3 (cm) \\ v_{o}= -80\sqrt{2} (cm/s) \end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A.sin\varphi = 3 (cm) \\ A.\varpi .cos\varphi= -80\sqrt{2} (cm/s) \end{matrix}\right$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A.sin\varphi = 3 (cm) \\ A.20\sqrt{2} .cos\varphi= -80\sqrt{2} (cm/s)\end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A.sin\varphi = 3 (cm) (1)\\ A.cos\varphi= -4 (cm/s) (2)\end{matrix}\right$
Bình phương 2 vế của (1) và (2), xong cộng vế theo vế, ta có A = 5 (cm)
Chia (1) cho (2) vế theo vế, ta được:
$tg\varphi = -\frac{3}{4}\Rightarrow \varphi\approx -0,2\pi$
Vậy phương trình dao động là: $x=5.sin(20\sqrt{2}t-0,2\pi) (cm)$
b) Lực tác dụng lên quả cầu trong lúc dao động là lực phục hồi: F = -k.x
Lấy theo độ lớn |F|=k.x
Do k không đổi nên $|F_{max}|\Leftrightarrow |x_{max}|= 5 (cm)$
Vậy $|F_{max}|= 80.0,05 = 4 (N)$

**haiht.ischool** · 15-02-2011 01:19 PM

Bài 4: Một con lắc lo xo gồm một vật có khối lượng m = 200g treo vào một lò xo có khối lượng không đáng kể theo phương thẳng đứng. Biết vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là 62,8 cm/s và gia tốc cực đại là 4 $m/s^2$ .
a) Tính biên độ, chu kỳ, tần số dao động của con lắc và độ cứng k của lò xo.
b) Viết phương trình dao động của con lắc. Chọn gốc tọa độ là vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống và gốc thời gian khi vật qua điểm $x_{o}=-5\sqrt{2} cm$ theo hướng dương của trục tọa độ.
c) Tính thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến điểm x = 5 cm. Cho $\pi ^2=10$

Giải:

a) Ta có: $\left\{\begin{matrix} |v_{max}|=A.\varpi = 62,8 (cm/s)\\ |a_{max}|=A.\varpi ^2 = 400 (cm/s^2) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \varpi = 6,3 \approx 2\pi(rad/s)\\ A = 10 (cm) \end{matrix}\right.$
Do đó: $T=\frac{2\pi}{\varpi}=\frac{2\pi}{2\pi}=1 (s)$
$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{1}=1 (Hz)$
$k=m\varpi^2=0,2(2\pi)^2=8 (N/m)$

b) Phương trình dao động tổng quát có dạng: $x = A.sin(\varpi t+\varphi)$
Tại $t_{o}=0$ ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{o}=-5\sqrt{2}\\ v_{o}>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A.sin\varphi=-5\sqrt{2}\\ cos\varphi>0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}sin\varphi=-\frac{5\sqrt{2}}{10}\\ cos\varphi>0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}sin\varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cos\varphi>0\end{matrix}\right.\Rightarrow \varphi=-\frac{\pi}{4}$
Vậy phương trình dao động của con lắc là: $x=10.sin(2\pi t--\frac{\pi}{4}) (cm)$

c) Dao động của con lắc chính là hình chiếu của chuyển động tròn đều với bán kính R = 10 cm và vận tốc gốc $\varpi=2\pi (rad/s)$

Từ hình vẽ ta thấy thời gian để con lắc di chuyển từ O (vị trí cân bằng) đến H với OH = $x_{1}=5 cm$ chính bằng thời gian bán kính R quét một góc $\alpha =\widehat{BOH'}$
Ta có OH = 5 cm, OB = R = 10 cm => $\anpha=30^{o}$
Vậy cứ $360^{o}$ ứng với thời gian là 1 (s)
Thì $30^{o}$ ứng với thời gian là $\frac{30}{360}=\frac{1}{12} (s)$
Vậy để con lắc di chuyển từ vị trí cân bằng đến vị trí x = 5 (cm) trong 1 lần là $\frac{1}{12} (s)$

**haiht.ischool** · 17-02-2011 11:54 PM

Bài 5: Một con lắc lò xo bao gồm một vật có khối lượng 400g treo vào một đầu lò xo theo phương thẳng đứng hướng xuống. Lò xo có khối lượng không đáng kể và có độ cứng k = 100N/m.
Kéo lo xo khỏi vị trí cân bằng một đoạn 2 cm rồi đẩy xuống với vận tốc ban đầu là $v_{o}=25\sqrt{2} cm/s$ .
a) Tính chu kỳ và biên độ dao động của con lắc lò xo. Tính vận tốc cực đại của vật.
b) Viết phương trình dao động của con lắc lò xo. Chọn gốc tọa độ là vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên trên, chọn $t_{o} = 0$ khi con lắc ở vị trí thấp nhất
Lấy $\pi ^2 = 10$

Giải:

a) Ta có:
+ Chu kỳ dao động của con lắc là $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,4}{100}}=0,4 (s)$
+ Tại vị trí x = 2 (cm) ta có: $x^2+\frac{v_{o}^2}{\varpi}=A^2\Rightarrow A=\sqrt{x^2+\frac{v_{o}^2.T^2}{4\pi^2}}=\sqrt{4+\frac{(25\sqrt{2})^2.(0,4)^2}{4.10}}= 3 (cm)$
+ Vận tốc cực đại của con lắc: $|v_{max}|=A.\varpi=A.\frac{2\pi}{T}=3.\frac{2\pi}{0,4}\approx 47 (cm/s)$

b) Phương trình dao động tổng quát: $x=A.sin(\varpi t+\varphi)$
Trong đó: A = 3 (cm) và $\varpi =\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,4}=5\pi$
Vị trí thấp nhất của vật là x = -3 (cm), tại đó t=0. Do đó: $A.sin\varphi=-3$
Hay: $sin\varphi=-1\Rightarrow\varphi=-\frac{\pi}{2}$
Vậy phương trình dao động của con lắc là: $x=3sin(5\pi t-\frac{\pi}{2}) (cm)$

**haiht.ischool** · 20-02-2011 11:19 PM

Bài 6: Một con lắc lò xo bao gồm một vật có khối lượng $m_{1}=400g$ treo vào một đầu một A lò xo có khối lượng không đáng kể theo phương thẳng đứng hướng xuống, khi đó độ dài của lò xo là OB = $l_{1}=26 cm$ .
Treo thêm một vật có khối lượng $m_{2}=100g$ thì độ dài của lò xo là OC = $l_{2}=27 cm$ .
a) Tính độ cứng k và độ dài tự nhiên OA = $l_{o}$ của lò xo.
b) Bỏ vật $m_{2}$ ra, rồi nâng $m_{1}$ lên cho lò xo trở lại độ dài $l_{o}$ , sau đó thả cho vật chuyển động tự do. Chứng mình rằng vật $m_{1}$ dao động điều hòa quanh điểm B từ A đến và qua khỏi C. Tính chu kỳ và viết phương trình dao động.
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật tại vị trí cách A 2 cm theo hướng từ A đến B.
Cho $\pi ^2 =10$ và lấy $b=10 (cm/s^2)$

Giải:
a) Khi treo vật $m_{1}$ , ta có: $P_{1} = F_{1}$ => $m_{1}.g = k.\Delta l_{1}$
=> $m_{1}.g = k.(l_{1}-l_{o}) (1)$
Khi treo thêm vật $m_{2}$ , ta có: $P_{1} + P_{2} = F_{2}$ => $m_{1}.g + m_{2}.g = k.\Delta l_{2}$
=> $(m_{1}+m_{2}).g = k.(l_{2}-l_{o}) (2)$
Chia (2) cho (1) vế theo vế, ta có: $\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}=\frac{l_{2}-l_{o}}{l_{1}-l_{o}} (3)$
Thay số vào (3), ta có: $l_{o}=22 (cm)$ . Thay vào (1), được k = 100 (N/m)

b) Chọn trục tọa độ theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ trên xuống.

Gốc tọa độ là B (khi chỉ treo vật $m_{1}$ )
Gốc thời gian $t_{o}=0 (s)$ lúc buông vật (tại vị trí A)
+ Tại vị trí cân bằng: lò xo dãn $\Delta l_{1}$ , các lực tác dụng: $\overrightarrow{P_{1}},\overrightarrow{F_{dh1}}$
Theo định luật I Newton: $\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{F_{dh1}}=\overrightarrow{0}$
Chiếu lên trục tọa độ: $mg = k\Delta l_{1} (1*)$
Tại vị trí khác của vật với x > 0, ta có: lò xo dãn $x+\Delta l_{1}$ , các lực tác dụng: $\overrightarrow{P_{1}},\overrightarrow{F}$
Theo định luật II Newton: $\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{F_{dh1}}=m.\overrightarrow{a}$
Chiếu lên hệ quy chiếu, ta có: $mg - k(x + \Delta l_{1}) = ma (2*)$
Từ (1*) và (2*), ta được: $-kx = ma = mx''$
Hay: $x'' + \frac{k}{m}x = 0$ . Đặt: $\varpi ^2 = \frac{k}{m}$ . Ta có phương trình vi phân:
$x'' + \varpi ^2x = 0$ . Phương trình này có nghiệm: $x=A.sin(\varpi t + \varphi)$
Điều đó chứng tỏ dao động của lò xo là dao động điều hòa, với $\varpi=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{0,4}}=5\sqrt{10}=5\pi (rad/s)$
Tại $t_{o} =0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{o}=-A\\v_{o}=0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A.sin\varphi=-4\\A.\varpi cos\varphi=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}A.sin\varphi=-4\\cos\varphi=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\varphi=-\frac{\pi}{2}\\A=4\end{matrix}\right.$
Phương trình dao động của vật: $x=4.sin(5\pi t - \frac{\pi}{2}) (cm)$
Vậy với B là vị trí cân bằng, vật sẽ chuyển động từ A (BA=4 cm) qua B và đến C, rồi qua khỏi C (BC = 1 cm)

c) Áp dụng công thức không phụ thuộc thời gian: $x^2 + \frac{v^2}{\varpi ^2}=A^2 (*)$
Tại vị trí cách A là 2 cm thì li độ của vật: x = -2 (cm). Từ (*), ta có:
$v=\sqrt{(A^2-x^2)\varpi ^2}=\sqrt{(4^2-(-2)^2)(5\pi)^2}\approx 54,8 (cm/s)$
$a=x''=-\varpi ^2.A.sin(5\pi t - \frac{\pi}{2}) = -\varpi ^2.x=-(5\pi)^2.(-2)=500 (cm/s^2)$

**tambt.quynhon** · 09-10-2011 01:12 PM

mời gia đình cùng nhau làm thử bài nay nha. thanks

một con lắc lò xo ( K=500N, M= 0,5kg) dao động trên mp ngang có hệ số ma sát $\eta$ =0,1. ta kéo vật nặng lệch khỏi Vị Trí Cân Bằng O, dọc theo trục lò xo một đoạn 10cm rồi thả nhẹ tay, cho g=10m/s $^{2}$
hãy tính:
a, Q.đường mà vật đi được cho đến khi dừng lại?
b, tính số lần dao động mà vật thực hiện được?
b, vận tốc cực đại của vật sau khi đi qua vị trí cân bằng lần thứ 5?

Chủ đề: Bài tập tự luận: Con lắc lò xo

Công cụ Chủ đề

Hiển thị

Bài tập tự luận: Con lắc lò xo

The Following 4 Users Say Thank You to haiht.ischool For This Useful Post:

The Following 3 Users Say Thank You to haiht.ischool For This Useful Post:

The Following User Says Thank You to haiht.ischool For This Useful Post:

The Following User Says Thank You to haiht.ischool For This Useful Post:

The Following User Says Thank You to haiht.ischool For This Useful Post:

BT dao động tắc dần

Quyền viết bài